\(\int \frac {\cos ^2(c+d x) (A+B \sec (c+d x))}{(a+b \sec (c+d x))^4} \, dx\) [343]

Optimal result

Integrand size = 31, antiderivative size = 538 \[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) (A+B \sec (c+d x))}{(a+b \sec (c+d x))^4} \, dx=\frac {\left (a^2 A+20 A b^2-8 a b B\right ) x}{2 a^6}-\frac {b^2 \left (40 a^6 A b-84 a^4 A b^3+69 a^2 A b^5-20 A b^7-20 a^7 B+35 a^5 b^2 B-28 a^3 b^4 B+8 a b^6 B\right ) \text {arctanh}\left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^6 (a-b)^{7/2} (a+b)^{7/2} d}-\frac {\left (24 a^6 A b-146 a^4 A b^3+167 a^2 A b^5-60 A b^7-6 a^7 B+65 a^5 b^2 B-68 a^3 b^4 B+24 a b^6 B\right ) \sin (c+d x)}{6 a^5 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (a^6 A-23 a^4 A b^2+27 a^2 A b^4-10 A b^6+12 a^5 b B-11 a^3 b^3 B+4 a b^5 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {b (A b-a B) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^3}+\frac {b \left (10 a^2 A b-5 A b^3-7 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {b \left (48 a^4 A b-53 a^2 A b^3+20 A b^5-27 a^5 B+20 a^3 b^2 B-8 a b^4 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \sec (c+d x))} \]

[Out]

1/2*(A*a^2+20*A*b^2-8*B*a*b)*x/a^6-b^2*(40*A*a^6*b-84*A*a^4*b^3+69*A*a^2*b^5-20*A*b^7-20*B*a^7+35*B*a^5*b^2-28
*B*a^3*b^4+8*B*a*b^6)*arctanh((a-b)^(1/2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/(a+b)^(1/2))/a^6/(a-b)^(7/2)/(a+b)^(7/2)/d-1/6*(2
4*A*a^6*b-146*A*a^4*b^3+167*A*a^2*b^5-60*A*b^7-6*B*a^7+65*B*a^5*b^2-68*B*a^3*b^4+24*B*a*b^6)*sin(d*x+c)/a^5/(a
^2-b^2)^3/d+1/2*(A*a^6-23*A*a^4*b^2+27*A*a^2*b^4-10*A*b^6+12*B*a^5*b-11*B*a^3*b^3+4*B*a*b^5)*cos(d*x+c)*sin(d*
x+c)/a^4/(a^2-b^2)^3/d+1/3*b*(A*b-B*a)*cos(d*x+c)*sin(d*x+c)/a/(a^2-b^2)/d/(a+b*sec(d*x+c))^3+1/6*b*(10*A*a^2*
b-5*A*b^3-7*B*a^3+2*B*a*b^2)*cos(d*x+c)*sin(d*x+c)/a^2/(a^2-b^2)^2/d/(a+b*sec(d*x+c))^2+1/6*b*(48*A*a^4*b-53*A
*a^2*b^3+20*A*b^5-27*B*a^5+20*B*a^3*b^2-8*B*a*b^4)*cos(d*x+c)*sin(d*x+c)/a^3/(a^2-b^2)^3/d/(a+b*sec(d*x+c))

Rubi [A] (verified)

Time = 7.21 (sec) , antiderivative size = 538, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 9, number of rules used = 7, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.226, Rules used = {4115, 4185, 4189, 4004, 3916, 2738, 214} \[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) (A+B \sec (c+d x))}{(a+b \sec (c+d x))^4} \, dx=\frac {b (A b-a B) \sin (c+d x) \cos (c+d x)}{3 a d \left (a^2-b^2\right ) (a+b \sec (c+d x))^3}+\frac {x \left (a^2 A-8 a b B+20 A b^2\right )}{2 a^6}+\frac {b \left (-7 a^3 B+10 a^2 A b+2 a b^2 B-5 A b^3\right ) \sin (c+d x) \cos (c+d x)}{6 a^2 d \left (a^2-b^2\right )^2 (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {b \left (-27 a^5 B+48 a^4 A b+20 a^3 b^2 B-53 a^2 A b^3-8 a b^4 B+20 A b^5\right ) \sin (c+d x) \cos (c+d x)}{6 a^3 d \left (a^2-b^2\right )^3 (a+b \sec (c+d x))}+\frac {\left (a^6 A+12 a^5 b B-23 a^4 A b^2-11 a^3 b^3 B+27 a^2 A b^4+4 a b^5 B-10 A b^6\right ) \sin (c+d x) \cos (c+d x)}{2 a^4 d \left (a^2-b^2\right )^3}-\frac {b^2 \left (-20 a^7 B+40 a^6 A b+35 a^5 b^2 B-84 a^4 A b^3-28 a^3 b^4 B+69 a^2 A b^5+8 a b^6 B-20 A b^7\right ) \text {arctanh}\left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^6 d (a-b)^{7/2} (a+b)^{7/2}}-\frac {\left (-6 a^7 B+24 a^6 A b+65 a^5 b^2 B-146 a^4 A b^3-68 a^3 b^4 B+167 a^2 A b^5+24 a b^6 B-60 A b^7\right ) \sin (c+d x)}{6 a^5 d \left (a^2-b^2\right )^3} \]

[In]

Int[(Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])^4,x]

[Out]

((a^2*A + 20*A*b^2 - 8*a*b*B)*x)/(2*a^6) - (b^2*(40*a^6*A*b - 84*a^4*A*b^3 + 69*a^2*A*b^5 - 20*A*b^7 - 20*a^7*
B + 35*a^5*b^2*B - 28*a^3*b^4*B + 8*a*b^6*B)*ArcTanh[(Sqrt[a - b]*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a + b]])/(a^6*(a - b)
^(7/2)*(a + b)^(7/2)*d) - ((24*a^6*A*b - 146*a^4*A*b^3 + 167*a^2*A*b^5 - 60*A*b^7 - 6*a^7*B + 65*a^5*b^2*B - 6
8*a^3*b^4*B + 24*a*b^6*B)*Sin[c + d*x])/(6*a^5*(a^2 - b^2)^3*d) + ((a^6*A - 23*a^4*A*b^2 + 27*a^2*A*b^4 - 10*A
*b^6 + 12*a^5*b*B - 11*a^3*b^3*B + 4*a*b^5*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(2*a^4*(a^2 - b^2)^3*d) + (b*(A*b - a
*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(3*a*(a^2 - b^2)*d*(a + b*Sec[c + d*x])^3) + (b*(10*a^2*A*b - 5*A*b^3 - 7*a^3*B
+ 2*a*b^2*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*a^2*(a^2 - b^2)^2*d*(a + b*Sec[c + d*x])^2) + (b*(48*a^4*A*b - 53*
a^2*A*b^3 + 20*A*b^5 - 27*a^5*B + 20*a^3*b^2*B - 8*a*b^4*B)*Cos[c + d*x]*Sin[c + d*x])/(6*a^3*(a^2 - b^2)^3*d*
(a + b*Sec[c + d*x]))

Rule 214

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-a/b, 2]/a)*ArcTanh[x/Rt[-a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b},
x] && NegQ[a/b]

Rule 2738

Int[((a_) + (b_.)*sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)])^(-1), x_Symbol] :> With[{e = FreeFactors[Tan[(c + d*x)/2], x
]}, Dist[2*(e/d), Subst[Int[1/(a + b + (a - b)*e^2*x^2), x], x, Tan[(c + d*x)/2]/e], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}
, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 3916

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Dist[1/b, Int[1/(1 + (a/b)*Si
n[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0]

Rule 4004

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.) + (c_))/(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_)), x_Symbol] :> Simp[c*(x/a),
x] - Dist[(b*c - a*d)/a, Int[Csc[e + f*x]/(a + b*Csc[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[
b*c - a*d, 0]

Rule 4115

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*
(B_.) + (A_)), x_Symbol] :> Simp[b*(A*b - a*B)*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e + f*x])^n/(
a*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Dist[1/(a*(m + 1)*(a^2 - b^2)), Int[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*
x])^n*Simp[A*(a^2*(m + 1) - b^2*(m + n + 1)) + a*b*B*n - a*(A*b - a*B)*(m + 1)*Csc[e + f*x] + b*(A*b - a*B)*(m
+ n + 2)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, n}, x] && NeQ[A*b - a*B, 0] && NeQ[a^2 - b
^2, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(ILtQ[m + 1/2, 0] && ILtQ[n, 0])

Rule 4185

Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^
(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*Cot[e + f*x]*(a +
b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*((d*Csc[e + f*x])^n/(a*f*(m + 1)*(a^2 - b^2))), x] + Dist[1/(a*(m + 1)*(a^2 - b^2)), I
nt[(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1)*(d*Csc[e + f*x])^n*Simp[a*(a*A - b*B + a*C)*(m + 1) - (A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*
(m + n + 1) - a*(A*b - a*B + b*C)*(m + 1)*Csc[e + f*x] + (A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(m + n + 2)*Csc[e + f*x]^2, x
], x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, A, B, C, n}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(ILtQ[m + 1/2, 0] &
& ILtQ[n, 0])

Rule 4189

Int[((A_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(B_.) + csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*(C_.))*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^
(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[A*Cot[e + f*x]*(a + b*Csc[e + f*x])^(m + 1
)*((d*Csc[e + f*x])^n/(a*f*n)), x] + Dist[1/(a*d*n), Int[(a + b*Csc[e + f*x])^m*(d*Csc[e + f*x])^(n + 1)*Simp[
a*B*n - A*b*(m + n + 1) + a*(A + A*n + C*n)*Csc[e + f*x] + A*b*(m + n + 2)*Csc[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ
[{a, b, d, e, f, A, B, C, m}, x] && NeQ[a^2 - b^2, 0] && LeQ[n, -1]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {b (A b-a B) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^3}-\frac {\int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (-3 a^2 A+5 A b^2-2 a b B+3 a (A b-a B) \sec (c+d x)-4 b (A b-a B) \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^3} \, dx}{3 a \left (a^2-b^2\right )} \\ & = \frac {b (A b-a B) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^3}+\frac {b \left (10 a^2 A b-5 A b^3-7 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {\int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (2 \left (3 a^4 A-18 a^2 A b^2+10 A b^4+9 a^3 b B-4 a b^3 B\right )-2 a \left (6 a^2 A b-A b^3-3 a^3 B-2 a b^2 B\right ) \sec (c+d x)+3 b \left (10 a^2 A b-5 A b^3-7 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \sec ^2(c+d x)\right )}{(a+b \sec (c+d x))^2} \, dx}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2} \\ & = \frac {b (A b-a B) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^3}+\frac {b \left (10 a^2 A b-5 A b^3-7 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {b \left (48 a^4 A b-53 a^2 A b^3+20 A b^5-27 a^5 B+20 a^3 b^2 B-8 a b^4 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \sec (c+d x))}-\frac {\int \frac {\cos ^2(c+d x) \left (-6 \left (a^6 A-23 a^4 A b^2+27 a^2 A b^4-10 A b^6+12 a^5 b B-11 a^3 b^3 B+4 a b^5 B\right )+a \left (18 a^4 A b-8 a^2 A b^3+5 A b^5-6 a^5 B-7 a^3 b^2 B-2 a b^4 B\right ) \sec (c+d x)-2 b \left (48 a^4 A b-53 a^2 A b^3+20 A b^5-27 a^5 B+20 a^3 b^2 B-8 a b^4 B\right ) \sec ^2(c+d x)\right )}{a+b \sec (c+d x)} \, dx}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = \frac {\left (a^6 A-23 a^4 A b^2+27 a^2 A b^4-10 A b^6+12 a^5 b B-11 a^3 b^3 B+4 a b^5 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {b (A b-a B) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^3}+\frac {b \left (10 a^2 A b-5 A b^3-7 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {b \left (48 a^4 A b-53 a^2 A b^3+20 A b^5-27 a^5 B+20 a^3 b^2 B-8 a b^4 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \sec (c+d x))}+\frac {\int \frac {\cos (c+d x) \left (-2 \left (24 a^6 A b-146 a^4 A b^3+167 a^2 A b^5-60 A b^7-6 a^7 B+65 a^5 b^2 B-68 a^3 b^4 B+24 a b^6 B\right )+2 a \left (3 a^6 A+27 a^4 A b^2-25 a^2 A b^4+10 A b^6-18 a^5 b B+7 a^3 b^3 B-4 a b^5 B\right ) \sec (c+d x)+6 b \left (a^6 A-23 a^4 A b^2+27 a^2 A b^4-10 A b^6+12 a^5 b B-11 a^3 b^3 B+4 a b^5 B\right ) \sec ^2(c+d x)\right )}{a+b \sec (c+d x)} \, dx}{12 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = -\frac {\left (24 a^6 A b-146 a^4 A b^3+167 a^2 A b^5-60 A b^7-6 a^7 B+65 a^5 b^2 B-68 a^3 b^4 B+24 a b^6 B\right ) \sin (c+d x)}{6 a^5 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (a^6 A-23 a^4 A b^2+27 a^2 A b^4-10 A b^6+12 a^5 b B-11 a^3 b^3 B+4 a b^5 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {b (A b-a B) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^3}+\frac {b \left (10 a^2 A b-5 A b^3-7 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {b \left (48 a^4 A b-53 a^2 A b^3+20 A b^5-27 a^5 B+20 a^3 b^2 B-8 a b^4 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \sec (c+d x))}-\frac {\int \frac {-6 \left (a^2-b^2\right )^3 \left (a^2 A+20 A b^2-8 a b B\right )-6 a b \left (a^6 A-23 a^4 A b^2+27 a^2 A b^4-10 A b^6+12 a^5 b B-11 a^3 b^3 B+4 a b^5 B\right ) \sec (c+d x)}{a+b \sec (c+d x)} \, dx}{12 a^5 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = \frac {\left (a^2 A+20 A b^2-8 a b B\right ) x}{2 a^6}-\frac {\left (24 a^6 A b-146 a^4 A b^3+167 a^2 A b^5-60 A b^7-6 a^7 B+65 a^5 b^2 B-68 a^3 b^4 B+24 a b^6 B\right ) \sin (c+d x)}{6 a^5 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (a^6 A-23 a^4 A b^2+27 a^2 A b^4-10 A b^6+12 a^5 b B-11 a^3 b^3 B+4 a b^5 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {b (A b-a B) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^3}+\frac {b \left (10 a^2 A b-5 A b^3-7 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {b \left (48 a^4 A b-53 a^2 A b^3+20 A b^5-27 a^5 B+20 a^3 b^2 B-8 a b^4 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \sec (c+d x))}-\frac {\left (b^2 \left (40 a^6 A b-84 a^4 A b^3+69 a^2 A b^5-20 A b^7-20 a^7 B+35 a^5 b^2 B-28 a^3 b^4 B+8 a b^6 B\right )\right ) \int \frac {\sec (c+d x)}{a+b \sec (c+d x)} \, dx}{2 a^6 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = \frac {\left (a^2 A+20 A b^2-8 a b B\right ) x}{2 a^6}-\frac {\left (24 a^6 A b-146 a^4 A b^3+167 a^2 A b^5-60 A b^7-6 a^7 B+65 a^5 b^2 B-68 a^3 b^4 B+24 a b^6 B\right ) \sin (c+d x)}{6 a^5 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (a^6 A-23 a^4 A b^2+27 a^2 A b^4-10 A b^6+12 a^5 b B-11 a^3 b^3 B+4 a b^5 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {b (A b-a B) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^3}+\frac {b \left (10 a^2 A b-5 A b^3-7 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {b \left (48 a^4 A b-53 a^2 A b^3+20 A b^5-27 a^5 B+20 a^3 b^2 B-8 a b^4 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \sec (c+d x))}-\frac {\left (b \left (40 a^6 A b-84 a^4 A b^3+69 a^2 A b^5-20 A b^7-20 a^7 B+35 a^5 b^2 B-28 a^3 b^4 B+8 a b^6 B\right )\right ) \int \frac {1}{1+\frac {a \cos (c+d x)}{b}} \, dx}{2 a^6 \left (a^2-b^2\right )^3} \\ & = \frac {\left (a^2 A+20 A b^2-8 a b B\right ) x}{2 a^6}-\frac {\left (24 a^6 A b-146 a^4 A b^3+167 a^2 A b^5-60 A b^7-6 a^7 B+65 a^5 b^2 B-68 a^3 b^4 B+24 a b^6 B\right ) \sin (c+d x)}{6 a^5 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (a^6 A-23 a^4 A b^2+27 a^2 A b^4-10 A b^6+12 a^5 b B-11 a^3 b^3 B+4 a b^5 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {b (A b-a B) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^3}+\frac {b \left (10 a^2 A b-5 A b^3-7 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {b \left (48 a^4 A b-53 a^2 A b^3+20 A b^5-27 a^5 B+20 a^3 b^2 B-8 a b^4 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \sec (c+d x))}-\frac {\left (b \left (40 a^6 A b-84 a^4 A b^3+69 a^2 A b^5-20 A b^7-20 a^7 B+35 a^5 b^2 B-28 a^3 b^4 B+8 a b^6 B\right )\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {1}{1+\frac {a}{b}+\left (1-\frac {a}{b}\right ) x^2} \, dx,x,\tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )\right )}{a^6 \left (a^2-b^2\right )^3 d} \\ & = \frac {\left (a^2 A+20 A b^2-8 a b B\right ) x}{2 a^6}-\frac {b^2 \left (40 a^6 A b-84 a^4 A b^3+69 a^2 A b^5-20 A b^7-20 a^7 B+35 a^5 b^2 B-28 a^3 b^4 B+8 a b^6 B\right ) \text {arctanh}\left (\frac {\sqrt {a-b} \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a+b}}\right )}{a^6 (a-b)^{7/2} (a+b)^{7/2} d}-\frac {\left (24 a^6 A b-146 a^4 A b^3+167 a^2 A b^5-60 A b^7-6 a^7 B+65 a^5 b^2 B-68 a^3 b^4 B+24 a b^6 B\right ) \sin (c+d x)}{6 a^5 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {\left (a^6 A-23 a^4 A b^2+27 a^2 A b^4-10 A b^6+12 a^5 b B-11 a^3 b^3 B+4 a b^5 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{2 a^4 \left (a^2-b^2\right )^3 d}+\frac {b (A b-a B) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{3 a \left (a^2-b^2\right ) d (a+b \sec (c+d x))^3}+\frac {b \left (10 a^2 A b-5 A b^3-7 a^3 B+2 a b^2 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{6 a^2 \left (a^2-b^2\right )^2 d (a+b \sec (c+d x))^2}+\frac {b \left (48 a^4 A b-53 a^2 A b^3+20 A b^5-27 a^5 B+20 a^3 b^2 B-8 a b^4 B\right ) \cos (c+d x) \sin (c+d x)}{6 a^3 \left (a^2-b^2\right )^3 d (a+b \sec (c+d x))} \\ \end{align*}

Mathematica [B] (verified)

Leaf count is larger than twice the leaf count of optimal. \(1452\) vs. \(2(538)=1076\).

Time = 8.09 (sec) , antiderivative size = 1452, normalized size of antiderivative = 2.70 \[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) (A+B \sec (c+d x))}{(a+b \sec (c+d x))^4} \, dx=\frac {-\frac {96 b^2 \left (-40 a^6 A b+84 a^4 A b^3-69 a^2 A b^5+20 A b^7+20 a^7 B-35 a^5 b^2 B+28 a^3 b^4 B-8 a b^6 B\right ) \text {arctanh}\left (\frac {(-a+b) \tan \left (\frac {1}{2} (c+d x)\right )}{\sqrt {a^2-b^2}}\right )}{\left (a^2-b^2\right )^{7/2}}+\frac {72 a^{10} A b c+1272 a^8 A b^3 c-3288 a^6 A b^5 c+1512 a^4 A b^7 c+1392 a^2 A b^9 c-960 A b^{11} c-576 a^9 b^2 B c+1344 a^7 b^4 B c-576 a^5 b^6 B c-576 a^3 b^8 B c+384 a b^{10} B c+72 a^{10} A b d x+1272 a^8 A b^3 d x-3288 a^6 A b^5 d x+1512 a^4 A b^7 d x+1392 a^2 A b^9 d x-960 A b^{11} d x-576 a^9 b^2 B d x+1344 a^7 b^4 B d x-576 a^5 b^6 B d x-576 a^3 b^8 B d x+384 a b^{10} B d x+36 a \left (a^2-b^2\right )^3 \left (a^2+4 b^2\right ) \left (a^2 A+20 A b^2-8 a b B\right ) (c+d x) \cos (c+d x)+72 a^2 b \left (a^2-b^2\right )^3 \left (a^2 A+20 A b^2-8 a b B\right ) (c+d x) \cos (2 (c+d x))+12 a^{11} A c \cos (3 (c+d x))+204 a^9 A b^2 c \cos (3 (c+d x))-684 a^7 A b^4 c \cos (3 (c+d x))+708 a^5 A b^6 c \cos (3 (c+d x))-240 a^3 A b^8 c \cos (3 (c+d x))-96 a^{10} b B c \cos (3 (c+d x))+288 a^8 b^3 B c \cos (3 (c+d x))-288 a^6 b^5 B c \cos (3 (c+d x))+96 a^4 b^7 B c \cos (3 (c+d x))+12 a^{11} A d x \cos (3 (c+d x))+204 a^9 A b^2 d x \cos (3 (c+d x))-684 a^7 A b^4 d x \cos (3 (c+d x))+708 a^5 A b^6 d x \cos (3 (c+d x))-240 a^3 A b^8 d x \cos (3 (c+d x))-96 a^{10} b B d x \cos (3 (c+d x))+288 a^8 b^3 B d x \cos (3 (c+d x))-288 a^6 b^5 B d x \cos (3 (c+d x))+96 a^4 b^7 B d x \cos (3 (c+d x))+6 a^{11} A \sin (c+d x)-270 a^9 A b^2 \sin (c+d x)+750 a^7 A b^4 \sin (c+d x)+1086 a^5 A b^6 \sin (c+d x)-2232 a^3 A b^8 \sin (c+d x)+960 a A b^{10} \sin (c+d x)+72 a^{10} b B \sin (c+d x)-360 a^8 b^3 B \sin (c+d x)-540 a^6 b^5 B \sin (c+d x)+912 a^4 b^7 B \sin (c+d x)-384 a^2 b^9 B \sin (c+d x)-60 a^{10} A b \sin (2 (c+d x))-372 a^8 A b^3 \sin (2 (c+d x))+2772 a^6 A b^5 \sin (2 (c+d x))-3300 a^4 A b^7 \sin (2 (c+d x))+1200 a^2 A b^9 \sin (2 (c+d x))+24 a^{11} B \sin (2 (c+d x))+72 a^9 b^2 B \sin (2 (c+d x))-1200 a^7 b^4 B \sin (2 (c+d x))+1344 a^5 b^6 B \sin (2 (c+d x))-480 a^3 b^8 B \sin (2 (c+d x))+9 a^{11} A \sin (3 (c+d x))-279 a^9 A b^2 \sin (3 (c+d x))+1143 a^7 A b^4 \sin (3 (c+d x))-1253 a^5 A b^6 \sin (3 (c+d x))+440 a^3 A b^8 \sin (3 (c+d x))+72 a^{10} b B \sin (3 (c+d x))-456 a^8 b^3 B \sin (3 (c+d x))+500 a^6 b^5 B \sin (3 (c+d x))-176 a^4 b^7 B \sin (3 (c+d x))-30 a^{10} A b \sin (4 (c+d x))+90 a^8 A b^3 \sin (4 (c+d x))-90 a^6 A b^5 \sin (4 (c+d x))+30 a^4 A b^7 \sin (4 (c+d x))+12 a^{11} B \sin (4 (c+d x))-36 a^9 b^2 B \sin (4 (c+d x))+36 a^7 b^4 B \sin (4 (c+d x))-12 a^5 b^6 B \sin (4 (c+d x))+3 a^{11} A \sin (5 (c+d x))-9 a^9 A b^2 \sin (5 (c+d x))+9 a^7 A b^4 \sin (5 (c+d x))-3 a^5 A b^6 \sin (5 (c+d x))}{\left (a^2-b^2\right )^3 (b+a \cos (c+d x))^3}}{96 a^6 d} \]

[In]

Integrate[(Cos[c + d*x]^2*(A + B*Sec[c + d*x]))/(a + b*Sec[c + d*x])^4,x]

[Out]

((-96*b^2*(-40*a^6*A*b + 84*a^4*A*b^3 - 69*a^2*A*b^5 + 20*A*b^7 + 20*a^7*B - 35*a^5*b^2*B + 28*a^3*b^4*B - 8*a
*b^6*B)*ArcTanh[((-a + b)*Tan[(c + d*x)/2])/Sqrt[a^2 - b^2]])/(a^2 - b^2)^(7/2) + (72*a^10*A*b*c + 1272*a^8*A*
b^3*c - 3288*a^6*A*b^5*c + 1512*a^4*A*b^7*c + 1392*a^2*A*b^9*c - 960*A*b^11*c - 576*a^9*b^2*B*c + 1344*a^7*b^4
*B*c - 576*a^5*b^6*B*c - 576*a^3*b^8*B*c + 384*a*b^10*B*c + 72*a^10*A*b*d*x + 1272*a^8*A*b^3*d*x - 3288*a^6*A*
b^5*d*x + 1512*a^4*A*b^7*d*x + 1392*a^2*A*b^9*d*x - 960*A*b^11*d*x - 576*a^9*b^2*B*d*x + 1344*a^7*b^4*B*d*x -
576*a^5*b^6*B*d*x - 576*a^3*b^8*B*d*x + 384*a*b^10*B*d*x + 36*a*(a^2 - b^2)^3*(a^2 + 4*b^2)*(a^2*A + 20*A*b^2
- 8*a*b*B)*(c + d*x)*Cos[c + d*x] + 72*a^2*b*(a^2 - b^2)^3*(a^2*A + 20*A*b^2 - 8*a*b*B)*(c + d*x)*Cos[2*(c + d
*x)] + 12*a^11*A*c*Cos[3*(c + d*x)] + 204*a^9*A*b^2*c*Cos[3*(c + d*x)] - 684*a^7*A*b^4*c*Cos[3*(c + d*x)] + 70
8*a^5*A*b^6*c*Cos[3*(c + d*x)] - 240*a^3*A*b^8*c*Cos[3*(c + d*x)] - 96*a^10*b*B*c*Cos[3*(c + d*x)] + 288*a^8*b
^3*B*c*Cos[3*(c + d*x)] - 288*a^6*b^5*B*c*Cos[3*(c + d*x)] + 96*a^4*b^7*B*c*Cos[3*(c + d*x)] + 12*a^11*A*d*x*C
os[3*(c + d*x)] + 204*a^9*A*b^2*d*x*Cos[3*(c + d*x)] - 684*a^7*A*b^4*d*x*Cos[3*(c + d*x)] + 708*a^5*A*b^6*d*x*
Cos[3*(c + d*x)] - 240*a^3*A*b^8*d*x*Cos[3*(c + d*x)] - 96*a^10*b*B*d*x*Cos[3*(c + d*x)] + 288*a^8*b^3*B*d*x*C
os[3*(c + d*x)] - 288*a^6*b^5*B*d*x*Cos[3*(c + d*x)] + 96*a^4*b^7*B*d*x*Cos[3*(c + d*x)] + 6*a^11*A*Sin[c + d*
x] - 270*a^9*A*b^2*Sin[c + d*x] + 750*a^7*A*b^4*Sin[c + d*x] + 1086*a^5*A*b^6*Sin[c + d*x] - 2232*a^3*A*b^8*Si
n[c + d*x] + 960*a*A*b^10*Sin[c + d*x] + 72*a^10*b*B*Sin[c + d*x] - 360*a^8*b^3*B*Sin[c + d*x] - 540*a^6*b^5*B
*Sin[c + d*x] + 912*a^4*b^7*B*Sin[c + d*x] - 384*a^2*b^9*B*Sin[c + d*x] - 60*a^10*A*b*Sin[2*(c + d*x)] - 372*a
^8*A*b^3*Sin[2*(c + d*x)] + 2772*a^6*A*b^5*Sin[2*(c + d*x)] - 3300*a^4*A*b^7*Sin[2*(c + d*x)] + 1200*a^2*A*b^9
*Sin[2*(c + d*x)] + 24*a^11*B*Sin[2*(c + d*x)] + 72*a^9*b^2*B*Sin[2*(c + d*x)] - 1200*a^7*b^4*B*Sin[2*(c + d*x
)] + 1344*a^5*b^6*B*Sin[2*(c + d*x)] - 480*a^3*b^8*B*Sin[2*(c + d*x)] + 9*a^11*A*Sin[3*(c + d*x)] - 279*a^9*A*
b^2*Sin[3*(c + d*x)] + 1143*a^7*A*b^4*Sin[3*(c + d*x)] - 1253*a^5*A*b^6*Sin[3*(c + d*x)] + 440*a^3*A*b^8*Sin[3
*(c + d*x)] + 72*a^10*b*B*Sin[3*(c + d*x)] - 456*a^8*b^3*B*Sin[3*(c + d*x)] + 500*a^6*b^5*B*Sin[3*(c + d*x)] -
176*a^4*b^7*B*Sin[3*(c + d*x)] - 30*a^10*A*b*Sin[4*(c + d*x)] + 90*a^8*A*b^3*Sin[4*(c + d*x)] - 90*a^6*A*b^5*
Sin[4*(c + d*x)] + 30*a^4*A*b^7*Sin[4*(c + d*x)] + 12*a^11*B*Sin[4*(c + d*x)] - 36*a^9*b^2*B*Sin[4*(c + d*x)]
+ 36*a^7*b^4*B*Sin[4*(c + d*x)] - 12*a^5*b^6*B*Sin[4*(c + d*x)] + 3*a^11*A*Sin[5*(c + d*x)] - 9*a^9*A*b^2*Sin[
5*(c + d*x)] + 9*a^7*A*b^4*Sin[5*(c + d*x)] - 3*a^5*A*b^6*Sin[5*(c + d*x)])/((a^2 - b^2)^3*(b + a*Cos[c + d*x]
)^3))/(96*a^6*d)

Maple [A] (verified)

Time = 2.84 (sec) , antiderivative size = 615, normalized size of antiderivative = 1.14

method	result	size
derivativedivides	\(\frac {\frac {\frac {2 \left (\left (-\frac {1}{2} A \,a^{2}-4 A a b +B \,a^{2}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{3}+\left (\frac {1}{2} A \,a^{2}-4 A a b +B \,a^{2}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{\left (1+\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2}\right )^{2}}+\left (A \,a^{2}+20 A \,b^{2}-8 B a b \right ) \arctan \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{a^{6}}+\frac {2 b^{2} \left (\frac {-\frac {\left (30 A \,a^{4} b +6 A \,a^{3} b^{2}-34 A \,a^{2} b^{3}-3 A a \,b^{4}+12 A \,b^{5}-20 B \,a^{5}-5 B \,a^{4} b +18 B \,a^{3} b^{2}+2 B \,a^{2} b^{3}-6 B a \,b^{4}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{5}}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{3}+3 a^{2} b +3 a \,b^{2}+b^{3}\right )}+\frac {2 \left (45 A \,a^{4} b -53 A \,a^{2} b^{3}+18 A \,b^{5}-30 B \,a^{5}+29 B \,a^{3} b^{2}-9 B a \,b^{4}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{3}}{3 \left (a^{2}-2 a b +b^{2}\right ) \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right )}-\frac {\left (30 A \,a^{4} b -6 A \,a^{3} b^{2}-34 A \,a^{2} b^{3}+3 A a \,b^{4}+12 A \,b^{5}-20 B \,a^{5}+5 B \,a^{4} b +18 B \,a^{3} b^{2}-2 B \,a^{2} b^{3}-6 B a \,b^{4}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a^{3}-3 a^{2} b +3 a \,b^{2}-b^{3}\right )}}{\left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2} a -\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2} b -a -b \right )^{3}}-\frac {\left (40 A \,a^{6} b -84 A \,a^{4} b^{3}+69 A \,a^{2} b^{5}-20 A \,b^{7}-20 B \,a^{7}+35 B \,a^{5} b^{2}-28 B \,a^{3} b^{4}+8 B a \,b^{6}\right ) \operatorname {arctanh}\left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{2 \left (a^{6}-3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}-b^{6}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{a^{6}}}{d}\)	\(615\)
default	\(\frac {\frac {\frac {2 \left (\left (-\frac {1}{2} A \,a^{2}-4 A a b +B \,a^{2}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{3}+\left (\frac {1}{2} A \,a^{2}-4 A a b +B \,a^{2}\right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{\left (1+\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2}\right )^{2}}+\left (A \,a^{2}+20 A \,b^{2}-8 B a b \right ) \arctan \left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )\right )}{a^{6}}+\frac {2 b^{2} \left (\frac {-\frac {\left (30 A \,a^{4} b +6 A \,a^{3} b^{2}-34 A \,a^{2} b^{3}-3 A a \,b^{4}+12 A \,b^{5}-20 B \,a^{5}-5 B \,a^{4} b +18 B \,a^{3} b^{2}+2 B \,a^{2} b^{3}-6 B a \,b^{4}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{5}}{2 \left (a -b \right ) \left (a^{3}+3 a^{2} b +3 a \,b^{2}+b^{3}\right )}+\frac {2 \left (45 A \,a^{4} b -53 A \,a^{2} b^{3}+18 A \,b^{5}-30 B \,a^{5}+29 B \,a^{3} b^{2}-9 B a \,b^{4}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{3}}{3 \left (a^{2}-2 a b +b^{2}\right ) \left (a^{2}+2 a b +b^{2}\right )}-\frac {\left (30 A \,a^{4} b -6 A \,a^{3} b^{2}-34 A \,a^{2} b^{3}+3 A a \,b^{4}+12 A \,b^{5}-20 B \,a^{5}+5 B \,a^{4} b +18 B \,a^{3} b^{2}-2 B \,a^{2} b^{3}-6 B a \,b^{4}\right ) a b \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{2 \left (a +b \right ) \left (a^{3}-3 a^{2} b +3 a \,b^{2}-b^{3}\right )}}{\left (\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2} a -\tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )^{2} b -a -b \right )^{3}}-\frac {\left (40 A \,a^{6} b -84 A \,a^{4} b^{3}+69 A \,a^{2} b^{5}-20 A \,b^{7}-20 B \,a^{7}+35 B \,a^{5} b^{2}-28 B \,a^{3} b^{4}+8 B a \,b^{6}\right ) \operatorname {arctanh}\left (\frac {\left (a -b \right ) \tan \left (\frac {d x}{2}+\frac {c}{2}\right )}{\sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{2 \left (a^{6}-3 a^{4} b^{2}+3 a^{2} b^{4}-b^{6}\right ) \sqrt {\left (a -b \right ) \left (a +b \right )}}\right )}{a^{6}}}{d}\)	\(615\)
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(2264\)

[In]

int(cos(d*x+c)^2*(A+B*sec(d*x+c))/(a+b*sec(d*x+c))^4,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

1/d*(2/a^6*(((-1/2*A*a^2-4*A*a*b+B*a^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3+(1/2*A*a^2-4*A*a*b+B*a^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c))/(1+
tan(1/2*d*x+1/2*c)^2)^2+1/2*(A*a^2+20*A*b^2-8*B*a*b)*arctan(tan(1/2*d*x+1/2*c)))+2*b^2/a^6*((-1/2*(30*A*a^4*b+
6*A*a^3*b^2-34*A*a^2*b^3-3*A*a*b^4+12*A*b^5-20*B*a^5-5*B*a^4*b+18*B*a^3*b^2+2*B*a^2*b^3-6*B*a*b^4)*a*b/(a-b)/(
a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^5+2/3*(45*A*a^4*b-53*A*a^2*b^3+18*A*b^5-30*B*a^5+29*B*a^3*b^2-9*B*
a*b^4)*a*b/(a^2-2*a*b+b^2)/(a^2+2*a*b+b^2)*tan(1/2*d*x+1/2*c)^3-1/2*(30*A*a^4*b-6*A*a^3*b^2-34*A*a^2*b^3+3*A*a
*b^4+12*A*b^5-20*B*a^5+5*B*a^4*b+18*B*a^3*b^2-2*B*a^2*b^3-6*B*a*b^4)*a*b/(a+b)/(a^3-3*a^2*b+3*a*b^2-b^3)*tan(1
/2*d*x+1/2*c))/(tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*a-tan(1/2*d*x+1/2*c)^2*b-a-b)^3-1/2*(40*A*a^6*b-84*A*a^4*b^3+69*A*a^2*b^5
-20*A*b^7-20*B*a^7+35*B*a^5*b^2-28*B*a^3*b^4+8*B*a*b^6)/(a^6-3*a^4*b^2+3*a^2*b^4-b^6)/((a-b)*(a+b))^(1/2)*arct
anh((a-b)*tan(1/2*d*x+1/2*c)/((a-b)*(a+b))^(1/2))))

Fricas [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1416 vs. \(2 (516) = 1032\).

Time = 0.57 (sec) , antiderivative size = 2890, normalized size of antiderivative = 5.37 \[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) (A+B \sec (c+d x))}{(a+b \sec (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^2*(A+B*sec(d*x+c))/(a+b*sec(d*x+c))^4,x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/12*(6*(A*a^13 - 8*B*a^12*b + 16*A*a^11*b^2 + 32*B*a^10*b^3 - 74*A*a^9*b^4 - 48*B*a^8*b^5 + 116*A*a^7*b^6 +
32*B*a^6*b^7 - 79*A*a^5*b^8 - 8*B*a^4*b^9 + 20*A*a^3*b^10)*d*x*cos(d*x + c)^3 + 18*(A*a^12*b - 8*B*a^11*b^2 +
16*A*a^10*b^3 + 32*B*a^9*b^4 - 74*A*a^8*b^5 - 48*B*a^7*b^6 + 116*A*a^6*b^7 + 32*B*a^5*b^8 - 79*A*a^4*b^9 - 8*B
*a^3*b^10 + 20*A*a^2*b^11)*d*x*cos(d*x + c)^2 + 18*(A*a^11*b^2 - 8*B*a^10*b^3 + 16*A*a^9*b^4 + 32*B*a^8*b^5 -
74*A*a^7*b^6 - 48*B*a^6*b^7 + 116*A*a^5*b^8 + 32*B*a^4*b^9 - 79*A*a^3*b^10 - 8*B*a^2*b^11 + 20*A*a*b^12)*d*x*c
os(d*x + c) + 6*(A*a^10*b^3 - 8*B*a^9*b^4 + 16*A*a^8*b^5 + 32*B*a^7*b^6 - 74*A*a^6*b^7 - 48*B*a^5*b^8 + 116*A*
a^4*b^9 + 32*B*a^3*b^10 - 79*A*a^2*b^11 - 8*B*a*b^12 + 20*A*b^13)*d*x - 3*(20*B*a^7*b^5 - 40*A*a^6*b^6 - 35*B*
a^5*b^7 + 84*A*a^4*b^8 + 28*B*a^3*b^9 - 69*A*a^2*b^10 - 8*B*a*b^11 + 20*A*b^12 + (20*B*a^10*b^2 - 40*A*a^9*b^3
- 35*B*a^8*b^4 + 84*A*a^7*b^5 + 28*B*a^6*b^6 - 69*A*a^5*b^7 - 8*B*a^4*b^8 + 20*A*a^3*b^9)*cos(d*x + c)^3 + 3*
(20*B*a^9*b^3 - 40*A*a^8*b^4 - 35*B*a^7*b^5 + 84*A*a^6*b^6 + 28*B*a^5*b^7 - 69*A*a^4*b^8 - 8*B*a^3*b^9 + 20*A*
a^2*b^10)*cos(d*x + c)^2 + 3*(20*B*a^8*b^4 - 40*A*a^7*b^5 - 35*B*a^6*b^6 + 84*A*a^5*b^7 + 28*B*a^4*b^8 - 69*A*
a^3*b^9 - 8*B*a^2*b^10 + 20*A*a*b^11)*cos(d*x + c))*sqrt(a^2 - b^2)*log((2*a*b*cos(d*x + c) - (a^2 - 2*b^2)*co
s(d*x + c)^2 - 2*sqrt(a^2 - b^2)*(b*cos(d*x + c) + a)*sin(d*x + c) + 2*a^2 - b^2)/(a^2*cos(d*x + c)^2 + 2*a*b*
cos(d*x + c) + b^2)) + 2*(6*B*a^10*b^3 - 24*A*a^9*b^4 - 71*B*a^8*b^5 + 170*A*a^7*b^6 + 133*B*a^6*b^7 - 313*A*a
^5*b^8 - 92*B*a^4*b^9 + 227*A*a^3*b^10 + 24*B*a^2*b^11 - 60*A*a*b^12 + 3*(A*a^13 - 4*A*a^11*b^2 + 6*A*a^9*b^4
- 4*A*a^7*b^6 + A*a^5*b^8)*cos(d*x + c)^4 + 3*(2*B*a^13 - 5*A*a^12*b - 8*B*a^11*b^2 + 20*A*a^10*b^3 + 12*B*a^9
*b^4 - 30*A*a^8*b^5 - 8*B*a^7*b^6 + 20*A*a^6*b^7 + 2*B*a^5*b^8 - 5*A*a^4*b^9)*cos(d*x + c)^3 + (18*B*a^12*b -
63*A*a^11*b^2 - 132*B*a^10*b^3 + 342*A*a^9*b^4 + 239*B*a^8*b^5 - 590*A*a^7*b^6 - 169*B*a^6*b^7 + 421*A*a^5*b^8
+ 44*B*a^4*b^9 - 110*A*a^3*b^10)*cos(d*x + c)^2 + 3*(6*B*a^11*b^2 - 23*A*a^10*b^3 - 59*B*a^9*b^4 + 146*A*a^8*
b^5 + 110*B*a^7*b^6 - 263*A*a^6*b^7 - 77*B*a^5*b^8 + 190*A*a^4*b^9 + 20*B*a^3*b^10 - 50*A*a^2*b^11)*cos(d*x +
c))*sin(d*x + c))/((a^17 - 4*a^15*b^2 + 6*a^13*b^4 - 4*a^11*b^6 + a^9*b^8)*d*cos(d*x + c)^3 + 3*(a^16*b - 4*a^
14*b^3 + 6*a^12*b^5 - 4*a^10*b^7 + a^8*b^9)*d*cos(d*x + c)^2 + 3*(a^15*b^2 - 4*a^13*b^4 + 6*a^11*b^6 - 4*a^9*b
^8 + a^7*b^10)*d*cos(d*x + c) + (a^14*b^3 - 4*a^12*b^5 + 6*a^10*b^7 - 4*a^8*b^9 + a^6*b^11)*d), 1/6*(3*(A*a^13
- 8*B*a^12*b + 16*A*a^11*b^2 + 32*B*a^10*b^3 - 74*A*a^9*b^4 - 48*B*a^8*b^5 + 116*A*a^7*b^6 + 32*B*a^6*b^7 - 7
9*A*a^5*b^8 - 8*B*a^4*b^9 + 20*A*a^3*b^10)*d*x*cos(d*x + c)^3 + 9*(A*a^12*b - 8*B*a^11*b^2 + 16*A*a^10*b^3 + 3
2*B*a^9*b^4 - 74*A*a^8*b^5 - 48*B*a^7*b^6 + 116*A*a^6*b^7 + 32*B*a^5*b^8 - 79*A*a^4*b^9 - 8*B*a^3*b^10 + 20*A*
a^2*b^11)*d*x*cos(d*x + c)^2 + 9*(A*a^11*b^2 - 8*B*a^10*b^3 + 16*A*a^9*b^4 + 32*B*a^8*b^5 - 74*A*a^7*b^6 - 48*
B*a^6*b^7 + 116*A*a^5*b^8 + 32*B*a^4*b^9 - 79*A*a^3*b^10 - 8*B*a^2*b^11 + 20*A*a*b^12)*d*x*cos(d*x + c) + 3*(A
*a^10*b^3 - 8*B*a^9*b^4 + 16*A*a^8*b^5 + 32*B*a^7*b^6 - 74*A*a^6*b^7 - 48*B*a^5*b^8 + 116*A*a^4*b^9 + 32*B*a^3
*b^10 - 79*A*a^2*b^11 - 8*B*a*b^12 + 20*A*b^13)*d*x + 3*(20*B*a^7*b^5 - 40*A*a^6*b^6 - 35*B*a^5*b^7 + 84*A*a^4
*b^8 + 28*B*a^3*b^9 - 69*A*a^2*b^10 - 8*B*a*b^11 + 20*A*b^12 + (20*B*a^10*b^2 - 40*A*a^9*b^3 - 35*B*a^8*b^4 +
84*A*a^7*b^5 + 28*B*a^6*b^6 - 69*A*a^5*b^7 - 8*B*a^4*b^8 + 20*A*a^3*b^9)*cos(d*x + c)^3 + 3*(20*B*a^9*b^3 - 40
*A*a^8*b^4 - 35*B*a^7*b^5 + 84*A*a^6*b^6 + 28*B*a^5*b^7 - 69*A*a^4*b^8 - 8*B*a^3*b^9 + 20*A*a^2*b^10)*cos(d*x
+ c)^2 + 3*(20*B*a^8*b^4 - 40*A*a^7*b^5 - 35*B*a^6*b^6 + 84*A*a^5*b^7 + 28*B*a^4*b^8 - 69*A*a^3*b^9 - 8*B*a^2*
b^10 + 20*A*a*b^11)*cos(d*x + c))*sqrt(-a^2 + b^2)*arctan(-sqrt(-a^2 + b^2)*(b*cos(d*x + c) + a)/((a^2 - b^2)*
sin(d*x + c))) + (6*B*a^10*b^3 - 24*A*a^9*b^4 - 71*B*a^8*b^5 + 170*A*a^7*b^6 + 133*B*a^6*b^7 - 313*A*a^5*b^8 -
92*B*a^4*b^9 + 227*A*a^3*b^10 + 24*B*a^2*b^11 - 60*A*a*b^12 + 3*(A*a^13 - 4*A*a^11*b^2 + 6*A*a^9*b^4 - 4*A*a^
7*b^6 + A*a^5*b^8)*cos(d*x + c)^4 + 3*(2*B*a^13 - 5*A*a^12*b - 8*B*a^11*b^2 + 20*A*a^10*b^3 + 12*B*a^9*b^4 - 3
0*A*a^8*b^5 - 8*B*a^7*b^6 + 20*A*a^6*b^7 + 2*B*a^5*b^8 - 5*A*a^4*b^9)*cos(d*x + c)^3 + (18*B*a^12*b - 63*A*a^1
1*b^2 - 132*B*a^10*b^3 + 342*A*a^9*b^4 + 239*B*a^8*b^5 - 590*A*a^7*b^6 - 169*B*a^6*b^7 + 421*A*a^5*b^8 + 44*B*
a^4*b^9 - 110*A*a^3*b^10)*cos(d*x + c)^2 + 3*(6*B*a^11*b^2 - 23*A*a^10*b^3 - 59*B*a^9*b^4 + 146*A*a^8*b^5 + 11
0*B*a^7*b^6 - 263*A*a^6*b^7 - 77*B*a^5*b^8 + 190*A*a^4*b^9 + 20*B*a^3*b^10 - 50*A*a^2*b^11)*cos(d*x + c))*sin(
d*x + c))/((a^17 - 4*a^15*b^2 + 6*a^13*b^4 - 4*a^11*b^6 + a^9*b^8)*d*cos(d*x + c)^3 + 3*(a^16*b - 4*a^14*b^3 +
6*a^12*b^5 - 4*a^10*b^7 + a^8*b^9)*d*cos(d*x + c)^2 + 3*(a^15*b^2 - 4*a^13*b^4 + 6*a^11*b^6 - 4*a^9*b^8 + a^7
*b^10)*d*cos(d*x + c) + (a^14*b^3 - 4*a^12*b^5 + 6*a^10*b^7 - 4*a^8*b^9 + a^6*b^11)*d)]

Sympy [F]

\[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) (A+B \sec (c+d x))}{(a+b \sec (c+d x))^4} \, dx=\int \frac {\left (A + B \sec {\left (c + d x \right )}\right ) \cos ^{2}{\left (c + d x \right )}}{\left (a + b \sec {\left (c + d x \right )}\right )^{4}}\, dx \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)**2*(A+B*sec(d*x+c))/(a+b*sec(d*x+c))**4,x)

[Out]

Integral((A + B*sec(c + d*x))*cos(c + d*x)**2/(a + b*sec(c + d*x))**4, x)

Maxima [F(-2)]

Exception generated. \[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) (A+B \sec (c+d x))}{(a+b \sec (c+d x))^4} \, dx=\text {Exception raised: ValueError} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^2*(A+B*sec(d*x+c))/(a+b*sec(d*x+c))^4,x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError >> Computation failed since Maxima requested additional constraints; using the 'a
ssume' command before evaluation *may* help (example of legal syntax is 'assume(4*a^2-4*b^2>0)', see `assume?`
for more de

Giac [B] (verification not implemented)

Leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1052 vs. \(2 (516) = 1032\).

Time = 0.41 (sec) , antiderivative size = 1052, normalized size of antiderivative = 1.96 \[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) (A+B \sec (c+d x))}{(a+b \sec (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate(cos(d*x+c)^2*(A+B*sec(d*x+c))/(a+b*sec(d*x+c))^4,x, algorithm="giac")

[Out]

1/6*(6*(20*B*a^7*b^2 - 40*A*a^6*b^3 - 35*B*a^5*b^4 + 84*A*a^4*b^5 + 28*B*a^3*b^6 - 69*A*a^2*b^7 - 8*B*a*b^8 +
20*A*b^9)*(pi*floor(1/2*(d*x + c)/pi + 1/2)*sgn(-2*a + 2*b) + arctan(-(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - b*tan(1/2*d*x
+ 1/2*c))/sqrt(-a^2 + b^2)))/((a^12 - 3*a^10*b^2 + 3*a^8*b^4 - a^6*b^6)*sqrt(-a^2 + b^2)) + 2*(60*B*a^7*b^3*ta
n(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 90*A*a^6*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 105*B*a^6*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 162*A*a^5*
b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 24*B*a^5*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 48*A*a^4*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 117*B
*a^4*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 213*A*a^3*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 24*B*a^3*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 +
48*A*a^2*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 42*B*a^2*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 + 81*A*a*b^9*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5
+ 18*B*a*b^9*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 36*A*b^10*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^5 - 120*B*a^7*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3
+ 180*A*a^6*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 236*B*a^5*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 392*A*a^4*b^6*tan(1/2*d*x + 1
/2*c)^3 - 152*B*a^3*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 284*A*a^2*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 36*B*a*b^9*tan(1/2*d*x
+ 1/2*c)^3 - 72*A*b^10*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 60*B*a^7*b^3*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 90*A*a^6*b^4*tan(1/2*d*x
+ 1/2*c) + 105*B*a^6*b^4*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 162*A*a^5*b^5*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 24*B*a^5*b^5*tan(1/2*d*x
+ 1/2*c) + 48*A*a^4*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 117*B*a^4*b^6*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 213*A*a^3*b^7*tan(1/2*d*x
+ 1/2*c) - 24*B*a^3*b^7*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 48*A*a^2*b^8*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 42*B*a^2*b^8*tan(1/2*d*x +
1/2*c) - 81*A*a*b^9*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 18*B*a*b^9*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 36*A*b^10*tan(1/2*d*x + 1/2*c))/(
(a^11 - 3*a^9*b^2 + 3*a^7*b^4 - a^5*b^6)*(a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 - b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 - a - b)^3) + 3*
(A*a^2 - 8*B*a*b + 20*A*b^2)*(d*x + c)/a^6 - 6*(A*a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - 2*B*a*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 + 8*
A*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c)^3 - A*a*tan(1/2*d*x + 1/2*c) - 2*B*a*tan(1/2*d*x + 1/2*c) + 8*A*b*tan(1/2*d*x + 1/2*c
))/((tan(1/2*d*x + 1/2*c)^2 + 1)^2*a^5))/d

Mupad [B] (verification not implemented)

Time = 28.98 (sec) , antiderivative size = 14438, normalized size of antiderivative = 26.84 \[ \int \frac {\cos ^2(c+d x) (A+B \sec (c+d x))}{(a+b \sec (c+d x))^4} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

int((cos(c + d*x)^2*(A + B/cos(c + d*x)))/(a + b/cos(c + d*x))^4,x)

[Out]

((tan(c/2 + (d*x)/2)*(A*a^8 + 20*A*b^8 + 2*B*a^8 - 59*A*a^2*b^6 - 27*A*a^3*b^5 + 57*A*a^4*b^4 + 21*A*a^5*b^3 -
11*A*a^6*b^2 - 4*B*a^2*b^6 + 24*B*a^3*b^5 + 11*B*a^4*b^4 - 26*B*a^5*b^3 - 6*B*a^6*b^2 + 10*A*a*b^7 - 7*A*a^7*
b - 8*B*a*b^7 + 2*B*a^7*b))/(a^5*(a + b)*(a - b)^3) + (2*tan(c/2 + (d*x)/2)^5*(9*A*a^10 + 180*A*b^10 - 611*A*a
^2*b^8 + 740*A*a^4*b^6 - 324*A*a^6*b^4 + 36*A*a^8*b^2 + 248*B*a^3*b^7 - 320*B*a^5*b^5 + 132*B*a^7*b^3 - 72*B*a
*b^9 - 18*B*a^9*b))/(3*a^5*(a + b)^3*(a - b)^3) + (tan(c/2 + (d*x)/2)^9*(A*a^8 + 20*A*b^8 - 2*B*a^8 - 59*A*a^2
*b^6 + 27*A*a^3*b^5 + 57*A*a^4*b^4 - 21*A*a^5*b^3 - 11*A*a^6*b^2 + 4*B*a^2*b^6 + 24*B*a^3*b^5 - 11*B*a^4*b^4 -
26*B*a^5*b^3 + 6*B*a^6*b^2 - 10*A*a*b^7 + 7*A*a^7*b - 8*B*a*b^7 + 2*B*a^7*b))/(a^5*(a + b)^3*(a - b)) - (2*ta
n(c/2 + (d*x)/2)^3*(6*A*a^9 - 120*A*b^9 + 6*B*a^9 + 364*A*a^2*b^7 + 71*A*a^3*b^6 - 369*A*a^4*b^5 - 45*A*a^5*b^
4 + 111*A*a^6*b^3 + 3*A*a^7*b^2 + 12*B*a^2*b^7 - 148*B*a^3*b^6 - 29*B*a^4*b^5 + 159*B*a^5*b^4 + 18*B*a^6*b^3 -
30*B*a^7*b^2 - 30*A*a*b^8 - 21*A*a^8*b + 48*B*a*b^8 - 6*B*a^8*b))/(3*a^5*(a + b)^2*(a - b)^3) - (2*tan(c/2 +
(d*x)/2)^7*(6*A*a^9 + 120*A*b^9 - 6*B*a^9 - 364*A*a^2*b^7 + 71*A*a^3*b^6 + 369*A*a^4*b^5 - 45*A*a^5*b^4 - 111*
A*a^6*b^3 + 3*A*a^7*b^2 + 12*B*a^2*b^7 + 148*B*a^3*b^6 - 29*B*a^4*b^5 - 159*B*a^5*b^4 + 18*B*a^6*b^3 + 30*B*a^
7*b^2 - 30*A*a*b^8 + 21*A*a^8*b - 48*B*a*b^8 - 6*B*a^8*b))/(3*a^5*(a + b)^3*(a - b)^2))/(d*(tan(c/2 + (d*x)/2)
^2*(9*a*b^2 + 3*a^2*b - a^3 + 5*b^3) + tan(c/2 + (d*x)/2)^4*(6*a*b^2 - 6*a^2*b - 2*a^3 + 10*b^3) - tan(c/2 + (
d*x)/2)^6*(6*a*b^2 + 6*a^2*b - 2*a^3 - 10*b^3) + 3*a*b^2 + 3*a^2*b + a^3 + b^3 - tan(c/2 + (d*x)/2)^10*(3*a*b^
2 - 3*a^2*b + a^3 - b^3) + tan(c/2 + (d*x)/2)^8*(3*a^2*b - 9*a*b^2 + a^3 + 5*b^3))) - (atan(((((8*tan(c/2 + (d
*x)/2)*(800*A^2*a*b^17 - 800*A^2*b^18 - A^2*a^18 + 2*A^2*a^17*b + 4720*A^2*a^2*b^16 - 4720*A^2*a^3*b^15 - 1152
2*A^2*a^4*b^14 + 11522*A^2*a^5*b^13 + 14837*A^2*a^6*b^12 - 14812*A^2*a^7*b^11 - 10385*A^2*a^8*b^10 + 10430*A^2
*a^9*b^9 + 3325*A^2*a^10*b^8 - 3640*A^2*a^11*b^7 + 45*A^2*a^12*b^6 + 350*A^2*a^13*b^5 - 209*A^2*a^14*b^4 + 68*
A^2*a^15*b^3 - 35*A^2*a^16*b^2 - 128*B^2*a^2*b^16 + 128*B^2*a^3*b^15 + 768*B^2*a^4*b^14 - 768*B^2*a^5*b^13 - 1
920*B^2*a^6*b^12 + 1920*B^2*a^7*b^11 + 2600*B^2*a^8*b^10 - 2560*B^2*a^9*b^9 - 2025*B^2*a^10*b^8 + 1920*B^2*a^1
1*b^7 + 824*B^2*a^12*b^6 - 768*B^2*a^13*b^5 - 80*B^2*a^14*b^4 + 128*B^2*a^15*b^3 - 64*B^2*a^16*b^2 + 640*A*B*a
*b^17 + 16*A*B*a^17*b - 640*A*B*a^2*b^16 - 3808*A*B*a^3*b^15 + 3808*A*B*a^4*b^14 + 9408*A*B*a^5*b^13 - 9408*A*
B*a^6*b^12 - 12430*A*B*a^7*b^11 + 12320*A*B*a^8*b^10 + 9200*A*B*a^9*b^9 - 8960*A*B*a^10*b^8 - 3360*A*B*a^11*b^
7 + 3360*A*B*a^12*b^6 + 144*A*B*a^13*b^5 - 448*A*B*a^14*b^4 + 240*A*B*a^15*b^3 - 32*A*B*a^16*b^2))/(a^20*b + a
^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4
- 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2) - (((4*(4*A*a^27 - 80*A*a^12*b^15 + 40*A*a^13*b^14 + 516*A*a^14*b^13 - 248*A*a^15*b
^12 - 1404*A*a^16*b^11 + 640*A*a^17*b^10 + 2076*A*a^18*b^9 - 896*A*a^19*b^8 - 1764*A*a^20*b^7 + 724*A*a^21*b^6
+ 816*A*a^22*b^5 - 316*A*a^23*b^4 - 160*A*a^24*b^3 + 52*A*a^25*b^2 + 32*B*a^13*b^14 - 16*B*a^14*b^13 - 208*B*
a^15*b^12 + 100*B*a^16*b^11 + 572*B*a^17*b^10 - 252*B*a^18*b^9 - 868*B*a^19*b^8 + 348*B*a^20*b^7 + 772*B*a^21*
b^6 - 292*B*a^22*b^5 - 380*B*a^23*b^4 + 144*B*a^24*b^3 + 80*B*a^25*b^2 - 32*B*a^26*b))/(a^25*b + a^26 - a^15*b
^11 - a^16*b^10 + 5*a^17*b^9 + 5*a^18*b^8 - 10*a^19*b^7 - 10*a^20*b^6 + 10*a^21*b^5 + 10*a^22*b^4 - 5*a^23*b^3
- 5*a^24*b^2) - (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A*a^2*1i + A*b^2*20i - B*a*b*8i)*(8*a^25*b - 8*a^12*b^14 + 8*a^13*b^13
+ 48*a^14*b^12 - 48*a^15*b^11 - 120*a^16*b^10 + 120*a^17*b^9 + 160*a^18*b^8 - 160*a^19*b^7 - 120*a^20*b^6 + 1
20*a^21*b^5 + 48*a^22*b^4 - 48*a^23*b^3 - 8*a^24*b^2))/(a^6*(a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^
9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2)))*(A*a^2*1i
+ A*b^2*20i - B*a*b*8i))/(2*a^6))*(A*a^2*1i + A*b^2*20i - B*a*b*8i)*1i)/(2*a^6) + (((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(800
*A^2*a*b^17 - 800*A^2*b^18 - A^2*a^18 + 2*A^2*a^17*b + 4720*A^2*a^2*b^16 - 4720*A^2*a^3*b^15 - 11522*A^2*a^4*b
^14 + 11522*A^2*a^5*b^13 + 14837*A^2*a^6*b^12 - 14812*A^2*a^7*b^11 - 10385*A^2*a^8*b^10 + 10430*A^2*a^9*b^9 +
3325*A^2*a^10*b^8 - 3640*A^2*a^11*b^7 + 45*A^2*a^12*b^6 + 350*A^2*a^13*b^5 - 209*A^2*a^14*b^4 + 68*A^2*a^15*b^
3 - 35*A^2*a^16*b^2 - 128*B^2*a^2*b^16 + 128*B^2*a^3*b^15 + 768*B^2*a^4*b^14 - 768*B^2*a^5*b^13 - 1920*B^2*a^6
*b^12 + 1920*B^2*a^7*b^11 + 2600*B^2*a^8*b^10 - 2560*B^2*a^9*b^9 - 2025*B^2*a^10*b^8 + 1920*B^2*a^11*b^7 + 824
*B^2*a^12*b^6 - 768*B^2*a^13*b^5 - 80*B^2*a^14*b^4 + 128*B^2*a^15*b^3 - 64*B^2*a^16*b^2 + 640*A*B*a*b^17 + 16*
A*B*a^17*b - 640*A*B*a^2*b^16 - 3808*A*B*a^3*b^15 + 3808*A*B*a^4*b^14 + 9408*A*B*a^5*b^13 - 9408*A*B*a^6*b^12
- 12430*A*B*a^7*b^11 + 12320*A*B*a^8*b^10 + 9200*A*B*a^9*b^9 - 8960*A*B*a^10*b^8 - 3360*A*B*a^11*b^7 + 3360*A*
B*a^12*b^6 + 144*A*B*a^13*b^5 - 448*A*B*a^14*b^4 + 240*A*B*a^15*b^3 - 32*A*B*a^16*b^2))/(a^20*b + a^21 - a^10*
b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^
3 - 5*a^19*b^2) + (((4*(4*A*a^27 - 80*A*a^12*b^15 + 40*A*a^13*b^14 + 516*A*a^14*b^13 - 248*A*a^15*b^12 - 1404*
A*a^16*b^11 + 640*A*a^17*b^10 + 2076*A*a^18*b^9 - 896*A*a^19*b^8 - 1764*A*a^20*b^7 + 724*A*a^21*b^6 + 816*A*a^
22*b^5 - 316*A*a^23*b^4 - 160*A*a^24*b^3 + 52*A*a^25*b^2 + 32*B*a^13*b^14 - 16*B*a^14*b^13 - 208*B*a^15*b^12 +
100*B*a^16*b^11 + 572*B*a^17*b^10 - 252*B*a^18*b^9 - 868*B*a^19*b^8 + 348*B*a^20*b^7 + 772*B*a^21*b^6 - 292*B
*a^22*b^5 - 380*B*a^23*b^4 + 144*B*a^24*b^3 + 80*B*a^25*b^2 - 32*B*a^26*b))/(a^25*b + a^26 - a^15*b^11 - a^16*
b^10 + 5*a^17*b^9 + 5*a^18*b^8 - 10*a^19*b^7 - 10*a^20*b^6 + 10*a^21*b^5 + 10*a^22*b^4 - 5*a^23*b^3 - 5*a^24*b
^2) + (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A*a^2*1i + A*b^2*20i - B*a*b*8i)*(8*a^25*b - 8*a^12*b^14 + 8*a^13*b^13 + 48*a^14*
b^12 - 48*a^15*b^11 - 120*a^16*b^10 + 120*a^17*b^9 + 160*a^18*b^8 - 160*a^19*b^7 - 120*a^20*b^6 + 120*a^21*b^5
+ 48*a^22*b^4 - 48*a^23*b^3 - 8*a^24*b^2))/(a^6*(a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*
b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2)))*(A*a^2*1i + A*b^2*20i
- B*a*b*8i))/(2*a^6))*(A*a^2*1i + A*b^2*20i - B*a*b*8i)*1i)/(2*a^6))/((8*(8000*A^3*b^19 - 4000*A^3*a*b^18 - 5
0800*A^3*a^2*b^17 + 24400*A^3*a^3*b^16 + 135260*A^3*a^4*b^15 - 62030*A^3*a^5*b^14 - 193689*A^3*a^6*b^13 + 8233
7*A^3*a^7*b^12 + 155991*A^3*a^8*b^11 - 57345*A^3*a^9*b^10 - 64479*A^3*a^10*b^9 + 16999*A^3*a^11*b^8 + 8281*A^3
*a^12*b^7 + 204*A^3*a^13*b^6 + 1396*A^3*a^14*b^5 - 40*A^3*a^15*b^4 + 40*A^3*a^16*b^3 - 512*B^3*a^3*b^16 + 256*
B^3*a^4*b^15 + 3328*B^3*a^5*b^14 - 1600*B^3*a^6*b^13 - 9152*B^3*a^7*b^12 + 4352*B^3*a^8*b^11 + 13888*B^3*a^9*b
^10 - 6408*B^3*a^10*b^9 - 12352*B^3*a^11*b^8 + 5120*B^3*a^12*b^7 + 6080*B^3*a^13*b^6 - 1920*B^3*a^14*b^5 - 128
0*B^3*a^15*b^4 - 9600*A^2*B*a*b^18 + 3840*A*B^2*a^2*b^17 - 1920*A*B^2*a^3*b^16 - 24768*A*B^2*a^4*b^15 + 11904*
A*B^2*a^5*b^14 + 67392*A*B^2*a^6*b^13 - 31680*A*B^2*a^7*b^12 - 100368*A*B^2*a^8*b^11 + 45148*A*B^2*a^9*b^10 +
86512*A*B^2*a^10*b^9 - 34567*A*B^2*a^11*b^8 - 40368*A*B^2*a^12*b^7 + 11960*A*B^2*a^13*b^6 + 7440*A*B^2*a^14*b^
5 + 80*A*B^2*a^15*b^4 + 320*A*B^2*a^16*b^3 + 4800*A^2*B*a^2*b^17 + 61440*A^2*B*a^3*b^16 - 29520*A^2*B*a^4*b^15
- 165384*A^2*B*a^5*b^14 + 76812*A^2*B*a^6*b^13 + 241596*A^2*B*a^7*b^12 - 105755*A^2*B*a^8*b^11 - 201479*A^2*B
*a^9*b^10 + 77359*A^2*B*a^10*b^9 + 88721*A^2*B*a^11*b^8 - 24711*A^2*B*a^12*b^7 - 13929*A^2*B*a^13*b^6 - 255*A^
2*B*a^14*b^5 - 1345*A^2*B*a^15*b^4 + 20*A^2*B*a^16*b^3 - 20*A^2*B*a^17*b^2))/(a^25*b + a^26 - a^15*b^11 - a^16
*b^10 + 5*a^17*b^9 + 5*a^18*b^8 - 10*a^19*b^7 - 10*a^20*b^6 + 10*a^21*b^5 + 10*a^22*b^4 - 5*a^23*b^3 - 5*a^24*
b^2) + (((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(800*A^2*a*b^17 - 800*A^2*b^18 - A^2*a^18 + 2*A^2*a^17*b + 4720*A^2*a^2*b^16 -
4720*A^2*a^3*b^15 - 11522*A^2*a^4*b^14 + 11522*A^2*a^5*b^13 + 14837*A^2*a^6*b^12 - 14812*A^2*a^7*b^11 - 10385*
A^2*a^8*b^10 + 10430*A^2*a^9*b^9 + 3325*A^2*a^10*b^8 - 3640*A^2*a^11*b^7 + 45*A^2*a^12*b^6 + 350*A^2*a^13*b^5
- 209*A^2*a^14*b^4 + 68*A^2*a^15*b^3 - 35*A^2*a^16*b^2 - 128*B^2*a^2*b^16 + 128*B^2*a^3*b^15 + 768*B^2*a^4*b^1
4 - 768*B^2*a^5*b^13 - 1920*B^2*a^6*b^12 + 1920*B^2*a^7*b^11 + 2600*B^2*a^8*b^10 - 2560*B^2*a^9*b^9 - 2025*B^2
*a^10*b^8 + 1920*B^2*a^11*b^7 + 824*B^2*a^12*b^6 - 768*B^2*a^13*b^5 - 80*B^2*a^14*b^4 + 128*B^2*a^15*b^3 - 64*
B^2*a^16*b^2 + 640*A*B*a*b^17 + 16*A*B*a^17*b - 640*A*B*a^2*b^16 - 3808*A*B*a^3*b^15 + 3808*A*B*a^4*b^14 + 940
8*A*B*a^5*b^13 - 9408*A*B*a^6*b^12 - 12430*A*B*a^7*b^11 + 12320*A*B*a^8*b^10 + 9200*A*B*a^9*b^9 - 8960*A*B*a^1
0*b^8 - 3360*A*B*a^11*b^7 + 3360*A*B*a^12*b^6 + 144*A*B*a^13*b^5 - 448*A*B*a^14*b^4 + 240*A*B*a^15*b^3 - 32*A*
B*a^16*b^2))/(a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10
*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2) - (((4*(4*A*a^27 - 80*A*a^12*b^15 + 40*A*a^13*b^14 + 516*A*
a^14*b^13 - 248*A*a^15*b^12 - 1404*A*a^16*b^11 + 640*A*a^17*b^10 + 2076*A*a^18*b^9 - 896*A*a^19*b^8 - 1764*A*a
^20*b^7 + 724*A*a^21*b^6 + 816*A*a^22*b^5 - 316*A*a^23*b^4 - 160*A*a^24*b^3 + 52*A*a^25*b^2 + 32*B*a^13*b^14 -
16*B*a^14*b^13 - 208*B*a^15*b^12 + 100*B*a^16*b^11 + 572*B*a^17*b^10 - 252*B*a^18*b^9 - 868*B*a^19*b^8 + 348*
B*a^20*b^7 + 772*B*a^21*b^6 - 292*B*a^22*b^5 - 380*B*a^23*b^4 + 144*B*a^24*b^3 + 80*B*a^25*b^2 - 32*B*a^26*b))
/(a^25*b + a^26 - a^15*b^11 - a^16*b^10 + 5*a^17*b^9 + 5*a^18*b^8 - 10*a^19*b^7 - 10*a^20*b^6 + 10*a^21*b^5 +
10*a^22*b^4 - 5*a^23*b^3 - 5*a^24*b^2) - (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A*a^2*1i + A*b^2*20i - B*a*b*8i)*(8*a^25*b - 8
*a^12*b^14 + 8*a^13*b^13 + 48*a^14*b^12 - 48*a^15*b^11 - 120*a^16*b^10 + 120*a^17*b^9 + 160*a^18*b^8 - 160*a^1
9*b^7 - 120*a^20*b^6 + 120*a^21*b^5 + 48*a^22*b^4 - 48*a^23*b^3 - 8*a^24*b^2))/(a^6*(a^20*b + a^21 - a^10*b^11
- a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 -
5*a^19*b^2)))*(A*a^2*1i + A*b^2*20i - B*a*b*8i))/(2*a^6))*(A*a^2*1i + A*b^2*20i - B*a*b*8i))/(2*a^6) - (((8*ta
n(c/2 + (d*x)/2)*(800*A^2*a*b^17 - 800*A^2*b^18 - A^2*a^18 + 2*A^2*a^17*b + 4720*A^2*a^2*b^16 - 4720*A^2*a^3*b
^15 - 11522*A^2*a^4*b^14 + 11522*A^2*a^5*b^13 + 14837*A^2*a^6*b^12 - 14812*A^2*a^7*b^11 - 10385*A^2*a^8*b^10 +
10430*A^2*a^9*b^9 + 3325*A^2*a^10*b^8 - 3640*A^2*a^11*b^7 + 45*A^2*a^12*b^6 + 350*A^2*a^13*b^5 - 209*A^2*a^14
*b^4 + 68*A^2*a^15*b^3 - 35*A^2*a^16*b^2 - 128*B^2*a^2*b^16 + 128*B^2*a^3*b^15 + 768*B^2*a^4*b^14 - 768*B^2*a^
5*b^13 - 1920*B^2*a^6*b^12 + 1920*B^2*a^7*b^11 + 2600*B^2*a^8*b^10 - 2560*B^2*a^9*b^9 - 2025*B^2*a^10*b^8 + 19
20*B^2*a^11*b^7 + 824*B^2*a^12*b^6 - 768*B^2*a^13*b^5 - 80*B^2*a^14*b^4 + 128*B^2*a^15*b^3 - 64*B^2*a^16*b^2 +
640*A*B*a*b^17 + 16*A*B*a^17*b - 640*A*B*a^2*b^16 - 3808*A*B*a^3*b^15 + 3808*A*B*a^4*b^14 + 9408*A*B*a^5*b^13
- 9408*A*B*a^6*b^12 - 12430*A*B*a^7*b^11 + 12320*A*B*a^8*b^10 + 9200*A*B*a^9*b^9 - 8960*A*B*a^10*b^8 - 3360*A
*B*a^11*b^7 + 3360*A*B*a^12*b^6 + 144*A*B*a^13*b^5 - 448*A*B*a^14*b^4 + 240*A*B*a^15*b^3 - 32*A*B*a^16*b^2))/(
a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10
*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2) + (((4*(4*A*a^27 - 80*A*a^12*b^15 + 40*A*a^13*b^14 + 516*A*a^14*b^13 - 24
8*A*a^15*b^12 - 1404*A*a^16*b^11 + 640*A*a^17*b^10 + 2076*A*a^18*b^9 - 896*A*a^19*b^8 - 1764*A*a^20*b^7 + 724*
A*a^21*b^6 + 816*A*a^22*b^5 - 316*A*a^23*b^4 - 160*A*a^24*b^3 + 52*A*a^25*b^2 + 32*B*a^13*b^14 - 16*B*a^14*b^1
3 - 208*B*a^15*b^12 + 100*B*a^16*b^11 + 572*B*a^17*b^10 - 252*B*a^18*b^9 - 868*B*a^19*b^8 + 348*B*a^20*b^7 + 7
72*B*a^21*b^6 - 292*B*a^22*b^5 - 380*B*a^23*b^4 + 144*B*a^24*b^3 + 80*B*a^25*b^2 - 32*B*a^26*b))/(a^25*b + a^2
6 - a^15*b^11 - a^16*b^10 + 5*a^17*b^9 + 5*a^18*b^8 - 10*a^19*b^7 - 10*a^20*b^6 + 10*a^21*b^5 + 10*a^22*b^4 -
5*a^23*b^3 - 5*a^24*b^2) + (4*tan(c/2 + (d*x)/2)*(A*a^2*1i + A*b^2*20i - B*a*b*8i)*(8*a^25*b - 8*a^12*b^14 + 8
*a^13*b^13 + 48*a^14*b^12 - 48*a^15*b^11 - 120*a^16*b^10 + 120*a^17*b^9 + 160*a^18*b^8 - 160*a^19*b^7 - 120*a^
20*b^6 + 120*a^21*b^5 + 48*a^22*b^4 - 48*a^23*b^3 - 8*a^24*b^2))/(a^6*(a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 +
5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2)))*
(A*a^2*1i + A*b^2*20i - B*a*b*8i))/(2*a^6))*(A*a^2*1i + A*b^2*20i - B*a*b*8i))/(2*a^6)))*(A*a^2*1i + A*b^2*20i
- B*a*b*8i)*1i)/(a^6*d) - (b^2*atan(((b^2*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(800*A^2*a*b^17 - 800*A^2*b^18 - A^2*a^18 +
2*A^2*a^17*b + 4720*A^2*a^2*b^16 - 4720*A^2*a^3*b^15 - 11522*A^2*a^4*b^14 + 11522*A^2*a^5*b^13 + 14837*A^2*a^6
*b^12 - 14812*A^2*a^7*b^11 - 10385*A^2*a^8*b^10 + 10430*A^2*a^9*b^9 + 3325*A^2*a^10*b^8 - 3640*A^2*a^11*b^7 +
45*A^2*a^12*b^6 + 350*A^2*a^13*b^5 - 209*A^2*a^14*b^4 + 68*A^2*a^15*b^3 - 35*A^2*a^16*b^2 - 128*B^2*a^2*b^16 +
128*B^2*a^3*b^15 + 768*B^2*a^4*b^14 - 768*B^2*a^5*b^13 - 1920*B^2*a^6*b^12 + 1920*B^2*a^7*b^11 + 2600*B^2*a^8
*b^10 - 2560*B^2*a^9*b^9 - 2025*B^2*a^10*b^8 + 1920*B^2*a^11*b^7 + 824*B^2*a^12*b^6 - 768*B^2*a^13*b^5 - 80*B^
2*a^14*b^4 + 128*B^2*a^15*b^3 - 64*B^2*a^16*b^2 + 640*A*B*a*b^17 + 16*A*B*a^17*b - 640*A*B*a^2*b^16 - 3808*A*B
*a^3*b^15 + 3808*A*B*a^4*b^14 + 9408*A*B*a^5*b^13 - 9408*A*B*a^6*b^12 - 12430*A*B*a^7*b^11 + 12320*A*B*a^8*b^1
0 + 9200*A*B*a^9*b^9 - 8960*A*B*a^10*b^8 - 3360*A*B*a^11*b^7 + 3360*A*B*a^12*b^6 + 144*A*B*a^13*b^5 - 448*A*B*
a^14*b^4 + 240*A*B*a^15*b^3 - 32*A*B*a^16*b^2))/(a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b
^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2) - (b^2*((a + b)^7*(a - b
)^7)^(1/2)*((4*(4*A*a^27 - 80*A*a^12*b^15 + 40*A*a^13*b^14 + 516*A*a^14*b^13 - 248*A*a^15*b^12 - 1404*A*a^16*b
^11 + 640*A*a^17*b^10 + 2076*A*a^18*b^9 - 896*A*a^19*b^8 - 1764*A*a^20*b^7 + 724*A*a^21*b^6 + 816*A*a^22*b^5 -
316*A*a^23*b^4 - 160*A*a^24*b^3 + 52*A*a^25*b^2 + 32*B*a^13*b^14 - 16*B*a^14*b^13 - 208*B*a^15*b^12 + 100*B*a
^16*b^11 + 572*B*a^17*b^10 - 252*B*a^18*b^9 - 868*B*a^19*b^8 + 348*B*a^20*b^7 + 772*B*a^21*b^6 - 292*B*a^22*b^
5 - 380*B*a^23*b^4 + 144*B*a^24*b^3 + 80*B*a^25*b^2 - 32*B*a^26*b))/(a^25*b + a^26 - a^15*b^11 - a^16*b^10 + 5
*a^17*b^9 + 5*a^18*b^8 - 10*a^19*b^7 - 10*a^20*b^6 + 10*a^21*b^5 + 10*a^22*b^4 - 5*a^23*b^3 - 5*a^24*b^2) - (4
*b^2*tan(c/2 + (d*x)/2)*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(20*A*b^7 + 20*B*a^7 - 69*A*a^2*b^5 + 84*A*a^4*b^3 + 28*B*
a^3*b^4 - 35*B*a^5*b^2 - 40*A*a^6*b - 8*B*a*b^6)*(8*a^25*b - 8*a^12*b^14 + 8*a^13*b^13 + 48*a^14*b^12 - 48*a^1
5*b^11 - 120*a^16*b^10 + 120*a^17*b^9 + 160*a^18*b^8 - 160*a^19*b^7 - 120*a^20*b^6 + 120*a^21*b^5 + 48*a^22*b^
4 - 48*a^23*b^3 - 8*a^24*b^2))/((a^20 - a^6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8 - 35*a^14*b^6 + 21*
a^16*b^4 - 7*a^18*b^2)*(a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^1
5*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2)))*(20*A*b^7 + 20*B*a^7 - 69*A*a^2*b^5 + 84*A*a^4*
b^3 + 28*B*a^3*b^4 - 35*B*a^5*b^2 - 40*A*a^6*b - 8*B*a*b^6))/(2*(a^20 - a^6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 +
35*a^12*b^8 - 35*a^14*b^6 + 21*a^16*b^4 - 7*a^18*b^2)))*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(20*A*b^7 + 20*B*a^7 - 69
*A*a^2*b^5 + 84*A*a^4*b^3 + 28*B*a^3*b^4 - 35*B*a^5*b^2 - 40*A*a^6*b - 8*B*a*b^6)*1i)/(2*(a^20 - a^6*b^14 + 7*
a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8 - 35*a^14*b^6 + 21*a^16*b^4 - 7*a^18*b^2)) + (b^2*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)
*(800*A^2*a*b^17 - 800*A^2*b^18 - A^2*a^18 + 2*A^2*a^17*b + 4720*A^2*a^2*b^16 - 4720*A^2*a^3*b^15 - 11522*A^2*
a^4*b^14 + 11522*A^2*a^5*b^13 + 14837*A^2*a^6*b^12 - 14812*A^2*a^7*b^11 - 10385*A^2*a^8*b^10 + 10430*A^2*a^9*b
^9 + 3325*A^2*a^10*b^8 - 3640*A^2*a^11*b^7 + 45*A^2*a^12*b^6 + 350*A^2*a^13*b^5 - 209*A^2*a^14*b^4 + 68*A^2*a^
15*b^3 - 35*A^2*a^16*b^2 - 128*B^2*a^2*b^16 + 128*B^2*a^3*b^15 + 768*B^2*a^4*b^14 - 768*B^2*a^5*b^13 - 1920*B^
2*a^6*b^12 + 1920*B^2*a^7*b^11 + 2600*B^2*a^8*b^10 - 2560*B^2*a^9*b^9 - 2025*B^2*a^10*b^8 + 1920*B^2*a^11*b^7
+ 824*B^2*a^12*b^6 - 768*B^2*a^13*b^5 - 80*B^2*a^14*b^4 + 128*B^2*a^15*b^3 - 64*B^2*a^16*b^2 + 640*A*B*a*b^17
+ 16*A*B*a^17*b - 640*A*B*a^2*b^16 - 3808*A*B*a^3*b^15 + 3808*A*B*a^4*b^14 + 9408*A*B*a^5*b^13 - 9408*A*B*a^6*
b^12 - 12430*A*B*a^7*b^11 + 12320*A*B*a^8*b^10 + 9200*A*B*a^9*b^9 - 8960*A*B*a^10*b^8 - 3360*A*B*a^11*b^7 + 33
60*A*B*a^12*b^6 + 144*A*B*a^13*b^5 - 448*A*B*a^14*b^4 + 240*A*B*a^15*b^3 - 32*A*B*a^16*b^2))/(a^20*b + a^21 -
a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^
18*b^3 - 5*a^19*b^2) + (b^2*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*((4*(4*A*a^27 - 80*A*a^12*b^15 + 40*A*a^13*b^14 + 516*
A*a^14*b^13 - 248*A*a^15*b^12 - 1404*A*a^16*b^11 + 640*A*a^17*b^10 + 2076*A*a^18*b^9 - 896*A*a^19*b^8 - 1764*A
*a^20*b^7 + 724*A*a^21*b^6 + 816*A*a^22*b^5 - 316*A*a^23*b^4 - 160*A*a^24*b^3 + 52*A*a^25*b^2 + 32*B*a^13*b^14
- 16*B*a^14*b^13 - 208*B*a^15*b^12 + 100*B*a^16*b^11 + 572*B*a^17*b^10 - 252*B*a^18*b^9 - 868*B*a^19*b^8 + 34
8*B*a^20*b^7 + 772*B*a^21*b^6 - 292*B*a^22*b^5 - 380*B*a^23*b^4 + 144*B*a^24*b^3 + 80*B*a^25*b^2 - 32*B*a^26*b
))/(a^25*b + a^26 - a^15*b^11 - a^16*b^10 + 5*a^17*b^9 + 5*a^18*b^8 - 10*a^19*b^7 - 10*a^20*b^6 + 10*a^21*b^5
+ 10*a^22*b^4 - 5*a^23*b^3 - 5*a^24*b^2) + (4*b^2*tan(c/2 + (d*x)/2)*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(20*A*b^7 + 2
0*B*a^7 - 69*A*a^2*b^5 + 84*A*a^4*b^3 + 28*B*a^3*b^4 - 35*B*a^5*b^2 - 40*A*a^6*b - 8*B*a*b^6)*(8*a^25*b - 8*a^
12*b^14 + 8*a^13*b^13 + 48*a^14*b^12 - 48*a^15*b^11 - 120*a^16*b^10 + 120*a^17*b^9 + 160*a^18*b^8 - 160*a^19*b
^7 - 120*a^20*b^6 + 120*a^21*b^5 + 48*a^22*b^4 - 48*a^23*b^3 - 8*a^24*b^2))/((a^20 - a^6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 2
1*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8 - 35*a^14*b^6 + 21*a^16*b^4 - 7*a^18*b^2)*(a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5
*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2)))*(2
0*A*b^7 + 20*B*a^7 - 69*A*a^2*b^5 + 84*A*a^4*b^3 + 28*B*a^3*b^4 - 35*B*a^5*b^2 - 40*A*a^6*b - 8*B*a*b^6))/(2*(
a^20 - a^6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8 - 35*a^14*b^6 + 21*a^16*b^4 - 7*a^18*b^2)))*((a + b)
^7*(a - b)^7)^(1/2)*(20*A*b^7 + 20*B*a^7 - 69*A*a^2*b^5 + 84*A*a^4*b^3 + 28*B*a^3*b^4 - 35*B*a^5*b^2 - 40*A*a^
6*b - 8*B*a*b^6)*1i)/(2*(a^20 - a^6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8 - 35*a^14*b^6 + 21*a^16*b^4
- 7*a^18*b^2)))/((8*(8000*A^3*b^19 - 4000*A^3*a*b^18 - 50800*A^3*a^2*b^17 + 24400*A^3*a^3*b^16 + 135260*A^3*a
^4*b^15 - 62030*A^3*a^5*b^14 - 193689*A^3*a^6*b^13 + 82337*A^3*a^7*b^12 + 155991*A^3*a^8*b^11 - 57345*A^3*a^9*
b^10 - 64479*A^3*a^10*b^9 + 16999*A^3*a^11*b^8 + 8281*A^3*a^12*b^7 + 204*A^3*a^13*b^6 + 1396*A^3*a^14*b^5 - 40
*A^3*a^15*b^4 + 40*A^3*a^16*b^3 - 512*B^3*a^3*b^16 + 256*B^3*a^4*b^15 + 3328*B^3*a^5*b^14 - 1600*B^3*a^6*b^13
- 9152*B^3*a^7*b^12 + 4352*B^3*a^8*b^11 + 13888*B^3*a^9*b^10 - 6408*B^3*a^10*b^9 - 12352*B^3*a^11*b^8 + 5120*B
^3*a^12*b^7 + 6080*B^3*a^13*b^6 - 1920*B^3*a^14*b^5 - 1280*B^3*a^15*b^4 - 9600*A^2*B*a*b^18 + 3840*A*B^2*a^2*b
^17 - 1920*A*B^2*a^3*b^16 - 24768*A*B^2*a^4*b^15 + 11904*A*B^2*a^5*b^14 + 67392*A*B^2*a^6*b^13 - 31680*A*B^2*a
^7*b^12 - 100368*A*B^2*a^8*b^11 + 45148*A*B^2*a^9*b^10 + 86512*A*B^2*a^10*b^9 - 34567*A*B^2*a^11*b^8 - 40368*A
*B^2*a^12*b^7 + 11960*A*B^2*a^13*b^6 + 7440*A*B^2*a^14*b^5 + 80*A*B^2*a^15*b^4 + 320*A*B^2*a^16*b^3 + 4800*A^2
*B*a^2*b^17 + 61440*A^2*B*a^3*b^16 - 29520*A^2*B*a^4*b^15 - 165384*A^2*B*a^5*b^14 + 76812*A^2*B*a^6*b^13 + 241
596*A^2*B*a^7*b^12 - 105755*A^2*B*a^8*b^11 - 201479*A^2*B*a^9*b^10 + 77359*A^2*B*a^10*b^9 + 88721*A^2*B*a^11*b
^8 - 24711*A^2*B*a^12*b^7 - 13929*A^2*B*a^13*b^6 - 255*A^2*B*a^14*b^5 - 1345*A^2*B*a^15*b^4 + 20*A^2*B*a^16*b^
3 - 20*A^2*B*a^17*b^2))/(a^25*b + a^26 - a^15*b^11 - a^16*b^10 + 5*a^17*b^9 + 5*a^18*b^8 - 10*a^19*b^7 - 10*a^
20*b^6 + 10*a^21*b^5 + 10*a^22*b^4 - 5*a^23*b^3 - 5*a^24*b^2) + (b^2*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(800*A^2*a*b^17 -
800*A^2*b^18 - A^2*a^18 + 2*A^2*a^17*b + 4720*A^2*a^2*b^16 - 4720*A^2*a^3*b^15 - 11522*A^2*a^4*b^14 + 11522*A^
2*a^5*b^13 + 14837*A^2*a^6*b^12 - 14812*A^2*a^7*b^11 - 10385*A^2*a^8*b^10 + 10430*A^2*a^9*b^9 + 3325*A^2*a^10*
b^8 - 3640*A^2*a^11*b^7 + 45*A^2*a^12*b^6 + 350*A^2*a^13*b^5 - 209*A^2*a^14*b^4 + 68*A^2*a^15*b^3 - 35*A^2*a^1
6*b^2 - 128*B^2*a^2*b^16 + 128*B^2*a^3*b^15 + 768*B^2*a^4*b^14 - 768*B^2*a^5*b^13 - 1920*B^2*a^6*b^12 + 1920*B
^2*a^7*b^11 + 2600*B^2*a^8*b^10 - 2560*B^2*a^9*b^9 - 2025*B^2*a^10*b^8 + 1920*B^2*a^11*b^7 + 824*B^2*a^12*b^6
- 768*B^2*a^13*b^5 - 80*B^2*a^14*b^4 + 128*B^2*a^15*b^3 - 64*B^2*a^16*b^2 + 640*A*B*a*b^17 + 16*A*B*a^17*b - 6
40*A*B*a^2*b^16 - 3808*A*B*a^3*b^15 + 3808*A*B*a^4*b^14 + 9408*A*B*a^5*b^13 - 9408*A*B*a^6*b^12 - 12430*A*B*a^
7*b^11 + 12320*A*B*a^8*b^10 + 9200*A*B*a^9*b^9 - 8960*A*B*a^10*b^8 - 3360*A*B*a^11*b^7 + 3360*A*B*a^12*b^6 + 1
44*A*B*a^13*b^5 - 448*A*B*a^14*b^4 + 240*A*B*a^15*b^3 - 32*A*B*a^16*b^2))/(a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^
10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2
) - (b^2*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*((4*(4*A*a^27 - 80*A*a^12*b^15 + 40*A*a^13*b^14 + 516*A*a^14*b^13 - 248*A
*a^15*b^12 - 1404*A*a^16*b^11 + 640*A*a^17*b^10 + 2076*A*a^18*b^9 - 896*A*a^19*b^8 - 1764*A*a^20*b^7 + 724*A*a
^21*b^6 + 816*A*a^22*b^5 - 316*A*a^23*b^4 - 160*A*a^24*b^3 + 52*A*a^25*b^2 + 32*B*a^13*b^14 - 16*B*a^14*b^13 -
208*B*a^15*b^12 + 100*B*a^16*b^11 + 572*B*a^17*b^10 - 252*B*a^18*b^9 - 868*B*a^19*b^8 + 348*B*a^20*b^7 + 772*
B*a^21*b^6 - 292*B*a^22*b^5 - 380*B*a^23*b^4 + 144*B*a^24*b^3 + 80*B*a^25*b^2 - 32*B*a^26*b))/(a^25*b + a^26 -
a^15*b^11 - a^16*b^10 + 5*a^17*b^9 + 5*a^18*b^8 - 10*a^19*b^7 - 10*a^20*b^6 + 10*a^21*b^5 + 10*a^22*b^4 - 5*a
^23*b^3 - 5*a^24*b^2) - (4*b^2*tan(c/2 + (d*x)/2)*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(20*A*b^7 + 20*B*a^7 - 69*A*a^2*
b^5 + 84*A*a^4*b^3 + 28*B*a^3*b^4 - 35*B*a^5*b^2 - 40*A*a^6*b - 8*B*a*b^6)*(8*a^25*b - 8*a^12*b^14 + 8*a^13*b^
13 + 48*a^14*b^12 - 48*a^15*b^11 - 120*a^16*b^10 + 120*a^17*b^9 + 160*a^18*b^8 - 160*a^19*b^7 - 120*a^20*b^6 +
120*a^21*b^5 + 48*a^22*b^4 - 48*a^23*b^3 - 8*a^24*b^2))/((a^20 - a^6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^
12*b^8 - 35*a^14*b^6 + 21*a^16*b^4 - 7*a^18*b^2)*(a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*
b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2)))*(20*A*b^7 + 20*B*a^7
- 69*A*a^2*b^5 + 84*A*a^4*b^3 + 28*B*a^3*b^4 - 35*B*a^5*b^2 - 40*A*a^6*b - 8*B*a*b^6))/(2*(a^20 - a^6*b^14 + 7
*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8 - 35*a^14*b^6 + 21*a^16*b^4 - 7*a^18*b^2)))*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)
*(20*A*b^7 + 20*B*a^7 - 69*A*a^2*b^5 + 84*A*a^4*b^3 + 28*B*a^3*b^4 - 35*B*a^5*b^2 - 40*A*a^6*b - 8*B*a*b^6))/(
2*(a^20 - a^6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8 - 35*a^14*b^6 + 21*a^16*b^4 - 7*a^18*b^2)) - (b^2
*((8*tan(c/2 + (d*x)/2)*(800*A^2*a*b^17 - 800*A^2*b^18 - A^2*a^18 + 2*A^2*a^17*b + 4720*A^2*a^2*b^16 - 4720*A^
2*a^3*b^15 - 11522*A^2*a^4*b^14 + 11522*A^2*a^5*b^13 + 14837*A^2*a^6*b^12 - 14812*A^2*a^7*b^11 - 10385*A^2*a^8
*b^10 + 10430*A^2*a^9*b^9 + 3325*A^2*a^10*b^8 - 3640*A^2*a^11*b^7 + 45*A^2*a^12*b^6 + 350*A^2*a^13*b^5 - 209*A
^2*a^14*b^4 + 68*A^2*a^15*b^3 - 35*A^2*a^16*b^2 - 128*B^2*a^2*b^16 + 128*B^2*a^3*b^15 + 768*B^2*a^4*b^14 - 768
*B^2*a^5*b^13 - 1920*B^2*a^6*b^12 + 1920*B^2*a^7*b^11 + 2600*B^2*a^8*b^10 - 2560*B^2*a^9*b^9 - 2025*B^2*a^10*b
^8 + 1920*B^2*a^11*b^7 + 824*B^2*a^12*b^6 - 768*B^2*a^13*b^5 - 80*B^2*a^14*b^4 + 128*B^2*a^15*b^3 - 64*B^2*a^1
6*b^2 + 640*A*B*a*b^17 + 16*A*B*a^17*b - 640*A*B*a^2*b^16 - 3808*A*B*a^3*b^15 + 3808*A*B*a^4*b^14 + 9408*A*B*a
^5*b^13 - 9408*A*B*a^6*b^12 - 12430*A*B*a^7*b^11 + 12320*A*B*a^8*b^10 + 9200*A*B*a^9*b^9 - 8960*A*B*a^10*b^8 -
3360*A*B*a^11*b^7 + 3360*A*B*a^12*b^6 + 144*A*B*a^13*b^5 - 448*A*B*a^14*b^4 + 240*A*B*a^15*b^3 - 32*A*B*a^16*
b^2))/(a^20*b + a^21 - a^10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b
^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^18*b^3 - 5*a^19*b^2) + (b^2*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*((4*(4*A*a^27 - 80*A*a^12*b^15
+ 40*A*a^13*b^14 + 516*A*a^14*b^13 - 248*A*a^15*b^12 - 1404*A*a^16*b^11 + 640*A*a^17*b^10 + 2076*A*a^18*b^9 -
896*A*a^19*b^8 - 1764*A*a^20*b^7 + 724*A*a^21*b^6 + 816*A*a^22*b^5 - 316*A*a^23*b^4 - 160*A*a^24*b^3 + 52*A*a^
25*b^2 + 32*B*a^13*b^14 - 16*B*a^14*b^13 - 208*B*a^15*b^12 + 100*B*a^16*b^11 + 572*B*a^17*b^10 - 252*B*a^18*b^
9 - 868*B*a^19*b^8 + 348*B*a^20*b^7 + 772*B*a^21*b^6 - 292*B*a^22*b^5 - 380*B*a^23*b^4 + 144*B*a^24*b^3 + 80*B
*a^25*b^2 - 32*B*a^26*b))/(a^25*b + a^26 - a^15*b^11 - a^16*b^10 + 5*a^17*b^9 + 5*a^18*b^8 - 10*a^19*b^7 - 10*
a^20*b^6 + 10*a^21*b^5 + 10*a^22*b^4 - 5*a^23*b^3 - 5*a^24*b^2) + (4*b^2*tan(c/2 + (d*x)/2)*((a + b)^7*(a - b)
^7)^(1/2)*(20*A*b^7 + 20*B*a^7 - 69*A*a^2*b^5 + 84*A*a^4*b^3 + 28*B*a^3*b^4 - 35*B*a^5*b^2 - 40*A*a^6*b - 8*B*
a*b^6)*(8*a^25*b - 8*a^12*b^14 + 8*a^13*b^13 + 48*a^14*b^12 - 48*a^15*b^11 - 120*a^16*b^10 + 120*a^17*b^9 + 16
0*a^18*b^8 - 160*a^19*b^7 - 120*a^20*b^6 + 120*a^21*b^5 + 48*a^22*b^4 - 48*a^23*b^3 - 8*a^24*b^2))/((a^20 - a^
6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8 - 35*a^14*b^6 + 21*a^16*b^4 - 7*a^18*b^2)*(a^20*b + a^21 - a^
10*b^11 - a^11*b^10 + 5*a^12*b^9 + 5*a^13*b^8 - 10*a^14*b^7 - 10*a^15*b^6 + 10*a^16*b^5 + 10*a^17*b^4 - 5*a^18
*b^3 - 5*a^19*b^2)))*(20*A*b^7 + 20*B*a^7 - 69*A*a^2*b^5 + 84*A*a^4*b^3 + 28*B*a^3*b^4 - 35*B*a^5*b^2 - 40*A*a
^6*b - 8*B*a*b^6))/(2*(a^20 - a^6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8 - 35*a^14*b^6 + 21*a^16*b^4 -
7*a^18*b^2)))*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(20*A*b^7 + 20*B*a^7 - 69*A*a^2*b^5 + 84*A*a^4*b^3 + 28*B*a^3*b^4 -
35*B*a^5*b^2 - 40*A*a^6*b - 8*B*a*b^6))/(2*(a^20 - a^6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*b^10 + 35*a^12*b^8 - 35*a^
14*b^6 + 21*a^16*b^4 - 7*a^18*b^2))))*((a + b)^7*(a - b)^7)^(1/2)*(20*A*b^7 + 20*B*a^7 - 69*A*a^2*b^5 + 84*A*a
^4*b^3 + 28*B*a^3*b^4 - 35*B*a^5*b^2 - 40*A*a^6*b - 8*B*a*b^6)*1i)/(d*(a^20 - a^6*b^14 + 7*a^8*b^12 - 21*a^10*
b^10 + 35*a^12*b^8 - 35*a^14*b^6 + 21*a^16*b^4 - 7*a^18*b^2))